Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} i + 1 & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $i$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Étape 1.2

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{1 + i}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{1 + i}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + i}{1 + i} & \frac{2}{1 + i} & \frac{1}{1 + i} & \frac{- i}{1 + i} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Étape 1.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 1.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 - 1 & i - (1 - i) & 2 i - (\frac{1}{2} - \frac{i}{2}) & 2 - (- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & - 1 + 2 i & - \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2} & \frac{5}{2} + \frac{i}{2} \end{array}]$

Étape 1.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ \frac{0}{- 1 + 2 i} & \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i} & \frac{- \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2}}{- 1 + 2 i} & \frac{\frac{5}{2} + \frac{i}{2}}{- 1 + 2 i} \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Étape 1.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 1.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - (1 - i) \cdot 0 & 1 - i - (1 - i) \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (\frac{11}{10} - \frac{3 i}{10}) & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (- \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10}) \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{10} + \frac{9 i}{10} & \frac{9}{10} + \frac{3 i}{10} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Étape 2

Les positions pivot sont les emplacements avec le $1$ principal sur chaque ligne. Les colonnes pivot sont les colonnes qui ont une position pivot.

Positions pivot : $a_{11}$ et $a_{22}$

Colonnes pivot : $1$ et $2$

Étape 3

Le rang est le nombre de colonnes pivot.

$2$